剩下的问题是一次食会延续多久。对此应当指出，我们把日、月和地影之间的圆弧都当作直线处理。这是由于它们都很小，似乎与直线并无差异。

图4—23

于是可取日心或地影中心在A点，而直线BC为月球的途径。令B为在初亏即月亮刚与太阳或地影接触时月亮的中心，而C为在复圆时的月心。连结AB与AC。作BC的垂线AD。当月心在D时，这显然是食中点①。AD比从A向BC所作的其他线都短。因AB=AC，故BD=DC。在一次日食时，AB和AC中任何一段线都等于日月直径之和的一半；而在月食时，它们均等于月亮和地影直径之和的一半。AD为在食甚时月球的真黄纬或视黄纬。（AB）²-（AD）²=（BD）²。因此可得BD的长度。把这个长度除以月食时月亮的每小时真行度，或除以日食时月亮的每小时视行度，便可求得食延时间长度的一半。

然而月亮往往在地影中点滞留。我已经说过[Ⅳ，31]，这种情况出现在月亮与地影直径之和的一半超过月球黄纬的量大于月亮直径的时候。于是取E为月球开始完全进入地影时（即月球从里面接触地影边界时）月亮的中心，而F为月球开始离开地影时（即月球从里面第二次接触地影边界时）月亮的中心。连结 AE和 AF。于是和前面一样，ED与DF显然代表通过地影时间的一半。已知AD为月球纬度，而AE或AF为地影半径超过月球半径的量。因此可定出ED或DF。把它们中任一个再次除以月亮每小时的真行度，则得我们所求的通过地影时间之半。

图4-24

然而在此应当指出，当月亮在白道上运行时，它在黄道上显示的黄经度数并不正好等于白道上的度数（用通过黄道两极的圆圈量出度数）。然而差值极小。在离与黄道交点为最大距离即12°度处，在接近日月食最外极限处，该两圆上的弧长彼此相差不到2′=¹/₁₅小时⁽¹⁶⁷⁾。由于这个缘故，我经常用它们中的一个代替另一个，似乎它们是完全一样的。与此相似，虽然月球纬度随时在增加或减少，我对一次食的两个极限以及中点都用同一个月球黄纬。由于月球黄纬的增减变化，掩始区与掩终区并非绝对相等。但从另一方面来说，它们的差异极小，因此耗费时间以更大精度来研究这些细节问题似乎毫无用处。按上述方法，日月食的时刻、食延时间和食分都根据日月直径求得。

但是按许多天文学家⁽¹⁶⁸⁾的意见，掩食区域应当根据表面而不是直径来确定，这是因为被食的是表面，而非直线。按此可令太阳或地影的圆周为ABCD，其中心为E。令月亮圆周为AFCG，其中心在I。令这两圆相交于A、C两点。通过两个圆心画直线BEIF。连结AE、EC、AI与IC。画AKC垂直于BF。我们希望从这些圆周定出被食表面ADCG的大小，或者在偏食的情况下确定它为太阳或月亮整个圆面积的十二分之几。

图4-25

于是由上述，两圆半径AE和AI已知。还有EI，即两个圆心的距离=月球黄纬。因此在三角形AEI中各边都已知，并按前面的证明各角均可知。EIC与AEI相似并相等。于是在取圆周周长=360°时，可以求得弧ADC与AGC的度数。按西拉库斯（Syracuse）的阿基米德所著《圆周的度量》，周长与直径之比小于3¹/₇∶1，但大于3¹⁰/₇₁∶1。托勒密在这两个数值之间取比值3°8′30″∶1⁽¹⁶⁹⁾。按这一比值，弧AGC和ADC也可用与两个直径或与AE及AI相同的单位表出。由EA与AD以及由IA与AG包含的面积，各等于扇形AEC和AIC。

但在等腰三角形AEC与AIC中，公共底边AKC已知，于是两条垂线 EK和 KI也已知。因此可得乘积 AK×KE为三角形AEC的面积，同样有乘积 AK×KI=三角形ACI的面积。把两个三角形从其所在扇形减去[扇形EADC-△AEC，扇形AGCI-△ACI]，余量AGC和ACD为两个圆的弓形部分。这两部分之和为所求的整个ADCG。还可求得在日食时由BE与BAD或在月食时由FI与FAG定出的整个圆面积。于是无论是太阳还是月亮的整个圆面的十二分之几为被食区域ADCG所占有，这个数值也清楚可知了。其他天文学家⁽¹⁷⁰⁾对以上问题作了更详尽的论证。这对月球来说目前已足够了。现在我急于论证其他五个天体的运行，这是以下两卷的主题。

《天体运行论》第四卷终⁽¹⁷¹⁾

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