利用这些观测可以同时得出圆心之间的距离以及各圆的大小。令直线AB通过水星的两个拱点，A为高拱点，B为低拱点，并令AB也为[地球]大圆的直径，而其中心为C。以D为心画行星的轨道。然后画与轨道相切的直线AE和BF。连结DE及DF。

在上述两次观测的前面一次，看出最大清晨距角=19°31′，因此的CAE=19°3′。但在另一次观测时求得最大黄昏距角=23¹/₄°。因此在两个直角三角形AED与BFD中各角均已知，各边之比也可知。于是在取AD=100，000^p时，ED=轨道半径=32，639^p(167)。然而，若取BD=100，000^p，则在此单位中FD=39，474^p(168)。但当取AD⁽¹⁶⁹⁾=100，000^p时，FD（为轨道的一个半径）=ED=32，639^p。在该单位中，[AB-AD的]余量DB=82，685^p(170)。于是AC=¹/₂[AD+DB=100，000^p+82，685^p=182，685^p]=91，342^p，而CD=[AD-AC=100，000^p-91，342^p的]余量=8658^p=[地球轨道与水星轨道]圆心间的距离。然而取AC=1^p或60′时，水星轨道半径=21′26″，而CD=5′41″⁽¹⁷¹⁾。在取AC=100，000^p时，DF=35，733^p(172)，而CD=9479^p。证讫。

但是这些长度并非到处相同，而与出现在平均拱点附近的图5—28数值大相径庭。据西翁和托勒密[《大成》，Ⅸ，9]报告，在这些位置所观测到的晨、昏距角就表明这一点。西翁于哈德里安14年12月18日日没后=基督诞生后129年216日45日-分⁽¹⁷³⁾，观测水星的最大黄昏距角，当时太阳平位置=93¹/₂°⁽¹⁷⁴⁾，即在水星平拱点[≌¹/₂（183°34′-3°34′）]附近[=90°+3°34′]。通过仪器看到该行星是在狮子宫第一星之东⁽¹⁷⁵⁾3⁵/₆°处。因此它的位置=119³/₄°⁽¹⁷⁶⁾[≌3°50′+115°50′]，而其最大黄昏距角=26¹/₄°[=119³/₄°-93¹/₂°]。据托勒密报告，另一个最大距角是他自己观测到的，时间为[皮厄斯]安东尼厄斯2年12月21日⁽¹⁷⁷⁾破晓=基督历138年219日12日-分⁽¹⁷⁸⁾。同样可知太阳的平位置=93°39′⁽¹⁷⁹⁾。他由此求得水星的最大清晨距角=20¹/₄°，这是因为看见它在恒星天球上73²/₅°处⁽¹⁸⁰⁾[73°24′+20°15′=93°39′]。

图5—28

现在重画[地球]大圆直径ACDB。和前面一样，令它通过水星的两个拱点。在C点画垂线CE，作为太阳的平均行度线。在C和D之间取F点。绕此点画水星轨道，而直线EH与EG为其切线。连结FG、FH及EF。

再一次要求定F点以图5—29及半径FG与AC之比。已知角CEG=26¹/₄°和CEH=20¹/₄°。因此整个HEG[=CEH+CEG=20°15′+26°15′]=46¹/₂°。HEF=¹/₄[HEG=46¹/₄°]=23¹/₄°。CEF=[HEF-CEH=23¹/₄°-20¹/₄°的]余量=3°。因此在直角三角形CEF中，在取CE=AC=10，000^p，已知边长CF=524^p(181)和斜边FE=10，014^p。当地球位于该行星的高或低拱点处时，上面[Ⅴ，27的前面部分]已求得整个CD=948^p。DF=水星轨道中心所扫出小圆的直径=[CD=948^p超出CF=524^p的]多余部分=424^p，因而半径IF=212^p[=直径DF的¹/₂]。于是整个CFI=[CF+FI=524^p+212^p]≌736¹/₂⁽¹⁸²⁾。

与此相似，在三角形HEF中（H为直角）还已知HEF=23¹/₄。⁽¹⁸³⁾。于是在取EF=10，000^p时，显然可得FH=3947^p。但在取CE=10，000^p时，EF=10，014^p，此时FH=3953^p(184)。然而上面已求得FH[在Ⅴ，27开头，该处所用符号为DF]=3573^p。令FK=3573^p。于是HK=[此FH-FK=3953^p-3573^p的]余量=380^p=行星与F的距离的最大变化，而F=行星轨道中心。[当行星运动时，]轨道由高、低拱点延伸到平拱点。由于有这个距离及其变化，行星绕其轨道中心F描出不相等的圆。这些圆随不同的距离而变。最短的距离=3573^p[=FK]，而最长距离=3953^p[=FH]。它们的平均值应当=3763^p[380^p÷2=190^p，190^p+3573^p，3953^p-190^p]。证讫。

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