在解释了环绕地球的三颗外行星——土星、木星与火星——的运动之后，现在是讨论被地球所围住的那些行星的时候了。我首先谈金星。只要在某些位置的必要观测资料并不缺少，对金星的运动比外行星更容易也可以更清楚地说明。如果求得它在晨昏时在太阳平位置两边的最大距角相等，则可以肯定金星偏心圆高、低拱点正好是太阳的这两个位置之间。用下述事实可使这些拱点区分开。当成对出现的[最大]距角较小时，它们是在远地点附近；而在相对的拱点附近，成对的距角较大。最后，在[两个拱点之间的]所有其他位置，由距角的相对大小可以毫无疑问地求得金星球体与高或低拱点的距离，还可得出金星的偏心度。托勒密非常清楚地研究了这些课题[《大成》，X，1—4]。因此不必逐一重述这些事项，除非是想按我的地球运动假设并由托勒密的观测来得到它们。

他所采用的第一项观测是[斯密尔纳(Smypna)的？]天文学家西翁⁽¹¹⁶⁾作出的。这次观测于哈德里安16年埃及历8月21日之后的夜间第一小时进行。按托勒密所说[《大成》，X，1]，这个时刻=公元132年3月8日黄昏。那时金星呈现其最大黄昏距角=距太阳平位置47¹/₄°，并可算出太阳的该平位置=在恒星天球上337°41′处⁽¹¹⁷⁾。托勒密把这次观测与另一次相比，而他说进行另一次观测的时间为[皮厄斯]安东尼厄斯4年1月12日破晓时=公元140年⁽¹¹⁸⁾7月30日黎明。他对此又一次指出金星的最大清晨距角=47°15′=以前与太阳平位置的距离，该平位置≌恒星天球上119°处⁽¹¹⁹⁾，而在过去曾经=337°41′。显然可知，在这两个位置之间的中点处为彼此相对的两个拱点，其位置为48¹/₃°和228¹/₃°[337°41′-119°=218°41′；218°41′÷2≌109°20′；109°20′+119°=228°20′；228°20′-180°=48°20′]，由于二分点岁差，这两个数目都应加6²/₃。于是正如托勒密所说[《大成》， X，1]，两个拱点分别位于金牛宫内25°[55°=48¹/₃°+6²/₃°]及天蝎宫内25°[=235°=228¹/₃°+6²/₃°]处。在这两个位置上的金星高、低拱点，应当是正好相对。

再进一步，为了更强有力地证实这一结果，他采用西翁的另一次观测。此次观测的时间为哈德里安12年3月20日破晓=公元127年⁽¹²⁰⁾10月 12日清晨。那时又一次发现金星是在其最大距角处=与太阳平位置相距47°32′=119°13′⁽¹²¹⁾。除此而外，托勒密还加上自己在哈德里安21年=公元136年所作的一次观测，这是在埃及历6月9日=罗马历12月25日，在下一个夜晚的第一小时，当时又一次求得黄昏距角=距平太阳47°32′=265°⁽¹²²⁾。但在西翁的上次观测时，太阳的平位置=191°13′。这些位置的中点[265°-191°13′=73°47′；73°47′÷2≌36°53′；36°53′+191°13′=228°6′；228°6′-180°=48°6′]又一次≌48°20′，228°20′，而这些应当为远地点和近地点的位置。从二分点量起，这些点=金牛宫与天蝎宫内25°处。按下述[《大成》，X，2]，托勒密有另外两次观测来区分这两个位置。

一次是西翁的观测，时间为哈德里安13年11月3日=公元129年5月21日，在破晓时。当时他测得金星的清晨最大距角=44°48′⁽¹²³⁾，而太阳的平均行度=48⁵/₆°，金星出现在恒星天球上4°[≌48°50′-44°48′]处。托勒密自己进行了另一次观测，时间在哈德里安21年埃及历5月2日，我查出这为罗马历公元136年11月18日⁽¹²⁴⁾。在此之后夜晚第一小时，太阳的平均行度=228°54′⁽¹²⁵⁾，由此可得金星的黄昏最大距角=47°16′，而行星本身出现在276¹/₆°[=228°54′+47°16′]。用这些观测可使两个拱点区分开；即高拱点=48¹/₃°。金星在该处的最大距角较小，而低拱点=228¹/₃°，此处最大距角大一些。证讫。

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